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Hyperwürfel und Hyperkugeln (5. April 2003)
Würfel haben neben perfekten Kugeln die Eigenschaft, dass sie zu den einfachsten geometrischen Formen gehören, welche man in n Dimensionen zeichnen oder sich vorstellen kann. Beispielsweise kann man eine Kugel relativ problemlos auf niedrigere Dimensionen "konvertieren", indem man der Oberfläche der Kugel eine Dimension abzieht. So existiert beispielsweise die Vorstellung einer vierdimensionalen Hyperkugel, dessen dreidimensionale Oberfläche unser Universum ist. Zieht man je eine Dimension von diesem Satz ab, so erhält man eine dreidimensionale Kugel mit einer zweidimensionalen Oberfläche - diese Oberfläche kann man immernoch als unser Universum gelten lassen, man muss dabei nur bedenken, dass nun eine Dimension fehlt. Regelmäßigkeiten gelten in diesen Fällen jedoch auch für die fehlende Dimension, wenn klar ist, dass sie auch für die übrigen beiden gelten.
Soviel zur vorzüglichen Eigenschaft von Kugeln. Beliebig-dimensionale Würfel haben den Vorteil, dass man über ein verhältnismäßig einfaches Verfahren zeigen kann, wie ein (n+1)-dimensionaler Würfel aussieht, wenn man einen Würfel mit n Dimensionen zur Verfügung hat. Das hat zwar den Nachteil, dass so ein n-dimensionaler Würfel bei weit über 3 Dimensionen völlig unübersichtlich wird, da wir alle zusätzlichen Dimensionen in unsere wenigen verlegen müssen, aber selbst dann kann man anhand dieses Verfahrens noch zeigen, wie ein Würfel mit einer weiteren Dimension aussehen würde: nämlich genau doppelt so unübersichtlich :o) Um zu illustrieren, wie man ein n-dimensionales Würfelobjekt um eine Dimension erweitern kann, fangen wir mit null Dimensionen an. Jegliches Objekt mit null Dimensionen ist ein Punkt. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Man würde anhand dieses Bildes kaum glauben, dass der sechsdimensionale Hyperwürfel noch an jeder Ecke einen rechten Winkel besitzt - dies ist jedoch nur deswegen trügerisch, weil wir 6 Dimensionen irgendwie auf 2 Dimensionen darstellen müssen, was einiges verfälscht. An JEDER Ecke befindet sich jeweils ein 90°-Winkel, könnte man diesen Würfel in 6 Dimensionen betrachten. Gehen wir erst einmal wieder zurück zu 4 Dimensionen, denn sich diese vorzustellen ist schon schwierig genug. Abgesehen davon gibt es zu diesen noch ein bisschen was zu sagen, was den Hobbymathematiker, der das noch nicht weiss, sicherlich interessieren könnte. Hier erstmal eine Ansicht eines Hyperwürfels, der sich in der vierten Dimension dreht. ![]() Wie wir nun oben gesehen haben, ist unsere gängige Vorstellung eines Hyperwürfels "ein kleiner Würfel in einem großen Würfel" - aber wieso? Hier eine Veranschaulichung, wie ein dreidimensionaler Würfel aussehen würde, würde man seinen Schatten in zwei Dimensionen sehen. Ein kleines Quadrat in einem größeren Quadrat - unsere Vorstellung eines Hyperwürfels sieht ganz ähnlich aus, sie ist also nur der Schatten eines echten Hyperwürfels: ein kleiner Würfel in einem größeren. Dies ist jedoch keinesfalls schlecht oder gar nutzlos - so wie sich ein zweidimensionales Lebewesen anhand des Schattens eines 3D-Würfels vorstellen könnte, wie er logisch und physikalisch funktioniert, so können wir uns anhand des dreidimensionalen Schattens eines Hyperwürfels vorstellen, wie dieser in vier Dimensionen physikalisch/logisch funktioniert. Der innere Würfel stellt sozusagen den Teil des Hyperwürfels dar, das näher an der "Leinwand" liegt - so wie das innere Quadrat auf dem Bild das Ende des Würfels darstellt, das der Leinwand am nächsten ist. Natürlich können wir uns anhand dieses Schattens noch immer kein Bild davon machen, wie nun ein echter Hyperwürfel aussieht - aber mit genug Training kann man es erlernen, sich geistig eine beliebige Hyperwürfel-Drehung vorzustellen. Ein Hyperwürfel kann, wie ein normaler Würfel auch, ausgeklappt werden. Dies kann man sowohl anhand des Würfels selbst, als auch anhand des Schattens bewerkstelligen. Da wir uns nun vierdimensionale Hyperwürfel nicht direkt vorstellen können, müssen wir auf dessen Schatten zurückgreifen. Dazu kannst du dir hier ein 2MB großes Avi-Video (DivX) herunterladen (Rechtsklick), welches das Aufklappen eines Hyperwürfels als Animation zeigt. Zuerst wird dabei der große Würfel geteilt und unterhalb wieder zusammengesetzt, so dass der gesamte obere Teil des Hyperwürfels freigesetzt ist. Als nächstes können die sechs Pyramidenstümpfe zu normalen Würfeln gemorpht werden, während der mittlere (zunächst kleine) Würfel sich ebenfalls zu einem normal großen Würfel vergrößert. Auf diese Weise erhält man einen sogenannten Tesseract, welcher der ausgeklappte Hyperwürfel ist. |